Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²+mx+n的圖象過點（1，2），且f（-1+x）=f（-1-x）對任意實數(shù)都成立，函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象關(guān)于原點對稱．
（1）求f（x）與g（x）的解析式；
（2）若F（x）=g（x）-λf（x）在[一1.1]上是增函數(shù)，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將點的坐標代入函數(shù)解析式得到一個方程；利用函數(shù)滿足的等式得到函數(shù)的對稱軸，據(jù)二次函數(shù)的對稱軸公式列出方程求出m，n；求出f（x）的解析式；利用相關(guān)點法求出g（x）的解析式．
（2）利用函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，分類討論即可求出參數(shù)的取值范圍．

解答 解：（1）由題意知：1+m+n=2，對稱軸為x=-1故-$\frac{m}{2}$=-1
解得m=2，n=-1，
∴f（x）=x²+2x-1，
設函數(shù)y=f（x）圖象上的任意一點Q（x₀，y₀）關(guān)于原點的對稱點為P（x，y），
則x₀=-x，y₀=-y，因為點Q（x₀，y₀）在y=f（x）的圖象上，
∴-y=x²-2x-1，
∴y=-x²+2x+1，
∴g（x）=-x²+2x+1．
（2）F（x）=-x²+2x+1-λ（x²+2x-1）=-（1+λ）x²+2（1-λ）x+1+λ在[-1，1]上是增函數(shù)，
當1+λ=0時，即λ=-1時，F(xiàn)（x）=4x符合題意，
當$\left\{\begin{array}{l}{1+λ＞0}\\{\frac{1-λ}{1+λ}≥1}\end{array}\right.$，解得-1＜λ≤0，
當$\left\{\begin{array}{l}{1+λ＜0}\\{\frac{1-λ}{1+λ}≤-1}\end{array}\right.$，解得λ＜-1
所求λ的取值范圍是（-∞，0]，

點評 本題考查求函數(shù)解析式的方法：待定系數(shù)法、直接法、函數(shù)單調(diào)求參數(shù)的范圍、解決不等式恒成立．