Question

2．設(shè)e₁、e₂分別為具有公共焦點(diǎn)F₁、F₂的橢圓和雙曲線的離心率，P是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足|$\overrightarrow{PF}$₁+$\overrightarrow{PF}$₂|=|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|，則$\frac{{e}_{1}{e}_{2}}{\sqrt{{e}_{1}^{2}+{e}_{2}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)出橢圓的長半軸，雙曲線的實(shí)半軸，它們的半焦距，利用橢圓的和雙曲線的定義可得焦半徑，寫出兩個(gè)曲線的離心率，即可得到結(jié)果．

解答 解：設(shè)橢圓的長半軸是a₁，雙曲線的實(shí)半軸是a₂，它們的半焦距都是c．
并設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，m＞n，
根據(jù)橢圓的和雙曲線的定義可得m+n=2a₁，m-n=2a₂，解得m=a₁+a₂，n=a₁-a₂．
∵設(shè)橢圓的長半軸是a₁，雙曲線的實(shí)半軸是a₂，它們的半焦距是c．
并設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，m＞n，
根據(jù)橢圓的和雙曲線的定義可得m+n=2a₁，m-n=2a₂，解得m=a₁+a₂，n=a₁-a₂，
∵|$\overrightarrow{PF}$₁+$\overrightarrow{PF}$₂|=|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|，即2|PO|=2|OF₂|，故△PF₁F₂ 為直角三角形，∴PF₁⊥PF₂，
由勾股定理得|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|² ，可得（a₁+a₂）²+（a₁-a₂）²=（2c）²，
化簡可得a₁²+a₂²=2c²，∴$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$=2，
∴$\frac{{e}_{1}{e}_{2}}{\sqrt{{e}_{1}^{2}+{e}_{2}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{1}{\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查圓錐曲線的共同特征，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用橢圓和雙曲線的定義得到兩個(gè)曲線的參數(shù)之間的關(guān)系，屬于中檔題．