Question

2．如圖O是等腰三角形ABC內(nèi)一點，⊙O與△ABC的底邊BC交于M，N兩點，與底邊上的高交于點G，且與AB，AC分別相切于E，F(xiàn)兩點．
（I）證明EF∥BC．
（II）若AG等于⊙O的半徑，且$AE=MN=2\sqrt{3}$，求四邊形EDCF的面積．

Answer 1

分析 （1）通過AD是∠CAB的角平分線及圓O分別與AB、AC相切于點E、F，利用相似的性質即得結論；
（2）通過（1）知AD是EF的垂直平分線，連接OE、OM，則OE⊥AE，利用S_△ABC-S_△AEF-S_△BED計算即可．

解答 （1）證明：∵△ABC為等腰三角形，AD⊥BC，
∴AD是∠CAB的角平分線，
又∵圓O分別與AB、AC相切于點E、F，
∴AE=AF，∴AD⊥EF，
∴EF∥BC；
（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分線，
又∵EF為圓O的弦，∴O在AD上，
連結OE、OM，則OE⊥AE，
由AG等于圓O的半徑可得AO=2OE，
∴∠OAE=30°，∴△ABC與△AEF都是等邊三角形，
∵AE=2$\sqrt{3}$，∴AO=4，OE=2，
∵OM=OE=2，DM=$\frac{1}{2}$MN=$\sqrt{3}$，∴OD=1，
∴AD=5，AB=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，BE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，BD=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$
∴四邊形EDCF的面積=$\frac{1}{2}×（\frac{10\sqrt{3}}{3}）^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}×（2\sqrt{3}）^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{3}}{3}×\frac{5\sqrt{3}}{3}×sin6{0}^{°}$=$\frac{11\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了等腰三角形的性質、圓的性質、等邊三角形的三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．