Question

10．已知拋物線E：y²=8x，圓M：（x-2）²+y²=4，點(diǎn)N為拋物線E上的動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段ON的中點(diǎn)的軌跡為曲線C．
（1）求拋物線C的方程；
（2）點(diǎn)Q（x₀，y₀）（x₀≥5）是曲線C上的點(diǎn)，過點(diǎn)Q作圓M的兩條切線，分別與x軸交于A，B兩點(diǎn)．求△QAB面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y）為軌跡上任意一點(diǎn)，則N（2x，2y），把N點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線E的方程化簡即可；
（2）設(shè)圓的切線斜率為k，得出切線方程，計(jì)算A，B的坐標(biāo)，利用根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算|AB|，從而得出△QAB的面積關(guān)于x₀的函數(shù)，求出此函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（1）設(shè)線段ON的中點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，y），則點(diǎn)N（2x，2y），
∵N為在拋物線y²=8x上的動點(diǎn)，
∴4y²=16x，即y²=4x，
∴曲線C的方程為：y²=4x．
（2）設(shè)切線方程為：y-y₀=k（x-x₀），
令y=0，得x=x₀-$\frac{{y}_{0}}{k}$，
∴切線與x軸的交點(diǎn)為（x₀-$\frac{{y}_{0}}{k}$，0），圓心（2，0）到切線的距離為d=$\frac{|2k+{y}_{0}-k{x}_{0}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2，
∴（2k+y₀-kx₀）²=4（1+k²），
整理得：（x₀²-4x₀）k²+（4y₀-2x₀y₀）k+y₀²-4=0，
設(shè)兩條切線的斜率分別為k₁，k₂，則k₁+k₂=$\frac{2{x}_{0}{y}_{0}-4{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}}$，k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-4}{{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}}$，
∴S_△QAB=$\frac{1}{2}$|（x₀-$\frac{{y}_{0}}{{k}_{1}}$）-（x₀-$\frac{{y}_{0}}{{k}_{2}}$）|•|y₀|=$\frac{1}{2}$y₀²|$\frac{{k}_{1}-{k}_{2}}{{k}_{1}{k}_{2}}$|=$\frac{2{{x}_{0}}^{2}}{{x}_{0}-1}$=2[（x₀-1）+$\frac{1}{{x}_{0}-1}$+2]
令x₀-1=t，則f（t）=t+$\frac{1}{t}$+2，t∈[4，+∞），
則f′（t）=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0，
∴f（t）在[4，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（t）≥f（4）=$\frac{25}{4}$，∴S_△QAB=2f（t）≥$\frac{25}{2}$，
∴△QAB的面積的最小值為$\frac{25}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了軌跡方程的求法，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，常使用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行化簡計(jì)算，屬于中檔題．