Question

設f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（1）=0，當x＞0時，有f（x）＞xf′（x）恒成立，則不等式xf（x）＞0的解集為

1. A.
   （-∞，0）∪（0，1）
2. B.
   （-∞，-1）∪（0，1）
3. C.
   （-1，0）∪（1，+∞）
4. D.
   （-1，0）∪（0，1）

Answer 1

D
分析：由已知當x＞0時總有xf′（x）＜f（x）成立，可判斷函數(shù)g（x）=為減函數(shù)，由f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可得g（x）為（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)g（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性和奇偶性，結(jié)合g（x）的圖象，解不等式即可
解答：設g（x）=
則g（x）的導數(shù)為g′（x）=
∵當x＞0時總有xf′（x）＜f（x）成立，即當x＞0時，g′（x）＜0，
∴當x＞0時，函數(shù)g（x）=為減函數(shù)，
又∵g（-x）===g（x）
∴函數(shù)g（x）為定義域上的偶函數(shù)
又∵g（1）==0
∴函數(shù)g（x）的圖象如圖：數(shù)形結(jié)合可得
∵xf（x）＞0且，f（x）=xg（x）（x≠0）
∴x²•g（x）＞0
∴g（x）＞0
∴0＜x＜1或-1＜x＜0
故選D
點評：本題主要考查了利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，屬于綜合題．