Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n²+2n，（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)集合A={x|x=2n+2，n∈N^*}，B={x|x=2a_n，n∈N^*}，等差數(shù)列{c_n}的任一項c_n∈A∩B，其中c₁是A∩B中的最小數(shù)，110＜c₁₀＜115，求數(shù)列{c_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用a_n=S_n-S_n-1計算并驗證即可；
（Ⅱ）通過A、B間的包含關(guān)系可得c₁=6，從而可得${c_{10}}=4m+6（m∈{N^*}）$，利用110＜c₁₀＜115，可得c₁₀=114，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計算即可．

解答 解：（Ⅰ）∵${S_n}={n^2}+2n，（n∈{N^*}）$．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=3滿足上式，
所以數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2n+1；
（Ⅱ）∵A={x|x=2n+2，n∈N^*}，B={x|x=4n+2，n∈N^*}，∴A∩B=B．
又∵c_n∈A∩B，其中c₁是A∩B中的最小數(shù)，∴c₁=6，
∵{c_n}的公差是4的倍數(shù)，∴${c_{10}}=4m+6（m∈{N^*}）$．
又∵110＜c₁₀＜115，
解得m=27，所以c₁₀=114，
設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
則$d=\frac{{{c_{10}}-{c_1}}}{10-1}=\frac{114-6}{9}=12$，
∴c_n=6+（n-1）12=12n-6，
所以{c_n}的通項公式為c_n=12n-6．

點評 本題考查數(shù)列的基本性質(zhì)，通項公式，集合的交集及其運(yùn)算，注意解題方法的積累，屬于中檔題．