Question

【題目】（本題滿分16分）已知函數(shù)， ．

（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若直線是函數(shù)圖象的切線，求的最小值；

（3）當(dāng)時(shí)，若與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，求證： ．（取為，取為，取為）

Answer 1

【答案】（1）（2）．（3）詳見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）由題意得對(duì)， 恒成立，即，∵，∴（2）設(shè)切點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)幾何意義得， ，令，則，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求最值：由得當(dāng)時(shí) ， ， 在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， ， 在上單調(diào)遞增，∴，故的最小值為．（3）本題較難，難點(diǎn)在于構(gòu)造函數(shù).先根據(jù)等量關(guān)系消去參數(shù)a：由題意知， ，兩式相加得，兩式相減得，即，

∴，即，為研究等式右邊范圍構(gòu)造函數(shù)，易得在上單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，有即，所以，再利用基本不等式進(jìn)行放縮： ，

即，再一次構(gòu)造函數(shù)，易得其在上單調(diào)遞增，而，因此，即．

試題解析：解：（1） ,則，

∵在上單調(diào)遞增，∴對(duì)，都有，

即對(duì)，都有，∵，∴，

故實(shí)數(shù)的取值范圍是． 4分

（2）設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，

即，亦即，

令，由題意得， 7分

令，則，

當(dāng)時(shí) ， ， 在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ， 在上單調(diào)遞增，

∴，故的最小值為． 10分

（3）由題意知， ，

兩式相加得，兩式相減得，

即，∴，

即， 12分

不妨令，記，令，則，

∴在上單調(diào)遞增，則，

∴，則，∴，

又，

∴，即，

令，則時(shí)， ，∴在上單調(diào)遞增，

又，

∴，則，即．

16分