Question

12．已知函數(shù)f（x）=|ax-1|
（1）若f（x）≤2的解集為[-3，1]，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若a=1，若存在x∈R，使得不等式f（2x+1）-f（x-1）≤3-2m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用絕對(duì)值不等式的解集，列出方程求解即可．
（2）利用a=1，若存在x∈R，使得不等式f（2x+1）-f（x-1）≤3-2m成立，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，通過(guò)函數(shù)的最小值以及函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式，求解即可．

解答 解：（1）顯然a≠0，當(dāng)a＞0時(shí)，解集為：[$-\frac{1}{a}$，$\frac{3}{a}$]，-$\frac{1}{a}=-3$，$\frac{3}{a}=1$，無(wú)解；
當(dāng)a＜0時(shí)，解集為：[$\frac{3}{a}$，-$\frac{1}{a}$]，令-$\frac{1}{a}$=1，$\frac{3}{a}=-3$，解得a=-1，
綜上a=-1．
（2）a=1時(shí)，令h（x）=f（2x+1）-f（x-1）=|2x|-|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{-x-1，x≤0}\\{3x-2，0＜x≤2}\\{x+2，x＞2}\end{array}\right.$，
由此可知，h（x）在（-∞，0]，上是單調(diào)遞減，
在[0，+∞）上單調(diào)遞增，則x=0時(shí)，h（x）取得最小值-2，
由題意可知-2≤3-2m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，$\frac{5}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的應(yīng)用，絕對(duì)值不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．