Question

7．函數(shù)f（x）在[a，b]上有定義，若對任意x₁，x₂∈[a，b]，有$f（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}）≤\frac{1}{2}[{f（{x_1}）+f（{x_2}）}]$，則稱f（x）在[a，b]上具有性質(zhì)P．設(shè)f（x）在[1，3]上具有性質(zhì)P，現(xiàn)給出如下命題：
①若f（x）在x=2處取得最大值1，則f（x）=1，x∈[1，3]；
②對任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，3]，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}}{4}$）≤$\frac{1}{4}$[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]．
③f（x）在[1，3]上的圖象是連續(xù)不斷的；
④f（x²）在$[{1，\sqrt{3}}]$上具有性質(zhì)P；
其中真命題的序號是（　�。�

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 根據(jù)題設(shè)條件，分別舉出反例，說明①和②都是錯誤的；同時證明③和④是正確的．

解答 解：在①中：在[1，3]上，f（2）=f（ $\frac{x+4-x}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x）+f（4-x）]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（x）+f（4-x）≥2}\\{f（x）≤f（x）_{max}=f（2）=1}\\{f（4-x）≤f（x）_{max}=f（2）=1}\end{array}\right.$，
故f（x）=1，
∴對任意的x₁，x₂∈[1，3]，f（x）=1，
故①成立；
在②中，對任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，3]，
有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}}{4}$）=f（ $\frac{\frac{1}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{1}{2}（{x}_{3}+{x}_{4}）}{2}$）
≤$\frac{1}{2}$[f（ $\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）+f（ $\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$ ）]
≤$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2}$（f（x₁ ）+f（x₂））+$\frac{1}{2}$（f（x₃）+f（x₄））]
=$\frac{1}{4}$[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]，

∴f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}}{4}$）≤$\frac{1}{4}$[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]．
故②成立．
在③中，反例：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（{\frac{1}{3}）}^{x}，1≤x＜3}\\{2，x=3}\end{array}\right.$在[1，3]上滿足性質(zhì)P，
但f（x）在[1，3]上不是連續(xù)函數(shù)，故③不成立；
在④中，反例：f（x）=-x在[1，3]上滿足性質(zhì)P，但f（x²）=-x²在[1，$\sqrt{3}$]上不滿足性質(zhì)P，
故④不成立；
故選：A．

點評 本題考查的知識點為函數(shù)定義的理解，說明一個結(jié)論錯誤時，只需舉出反例即可．說明一個結(jié)論正確時，要證明對所有的情況都成立．