Question

2．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，x≤0}\\{-{x}^{2}+2x，x＞0}\end{array}\right.$，若方程f²（x）+bf（x）+$\frac{1}{4}$=0有六個相異實根，則實數b的取值范圍（　�。�

• A． （-2，0）
• B． （-2，-1）
• C． （-$\frac{5}{4}$，0）
• D． （-$\frac{5}{4}$，-1）

Answer 1

分析 先將函數進行換元，轉化為一元二次函數問題．同時在結合函數f（x）的圖象，確定b的取值范圍．

解答 解：令t=f（x），則原函數方程等價為t²+bt+$\frac{1}{4}$=0．
作出函數f（x）的圖象如圖1：
圖象可知當由0＜t＜1時，函數t=f（x）有3個交點．
所以要使f²（x）+bf（x）+$\frac{1}{4}$=0有六個相異實根，
則等價為有兩個根t₁，t₂，
且0＜t₁＜1，0＜t₂＜1．
令g（t）=t²+bt+$\frac{1}{4}$，
則由根的分布（如圖2）可得$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{f（0）=\frac{1}{4}＞0}\\{f（1）=1+b+\frac{1}{4}＞0}\\{0＜-\frac{2}＜1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{^{2}-1＞0}\\{b＞-\frac{5}{4}}\\{-2＜b＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b＞1或b＜-1}\\{b＞-\frac{5}{4}}\\{-2＜b＜0}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{5}{4}$＜b＜-1，
則實數b的取值范圍是（-$\frac{5}{4}$，-1）．

故選：D．

點評 本題考查復合函數零點的個數問題，以及二次函數根的分布，解決本題的關鍵是利用換元，將復合函數轉化為我們熟悉的二次函數，換元是解決這類問題的關鍵．