Question

（2011•黃岡模擬）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足Sn=

n(a1+an)

2

(n∈N*)；數(shù)列{b_n}滿足b1+3b2+32b3+…+3n-1bn=

n

3

(n∈N*)
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
（2）若a₁=1，a₂=2，求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)數(shù)列{

an

bn

}前n項(xiàng)和為T_n，試比較

4

3

Tn與（2n²+3n-2）•2^n-1的大�。�

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題目條件可得2S_n=n（a₁+a_n），則當(dāng)n≥2時，2S_n-1=（n-1）（a₁+a_n-1）兩式作差可得a₁+（n-2）a_n=（n-1）a_n-1，進(jìn)而a₁+（n-1）a_n+1=na_n，兩式作差可得a_n+1-a_n=a_n-a_n-1，根據(jù)等差數(shù)列數(shù)列的定義可得結(jié)論；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義可求出其通項(xiàng)公式，利用遞推關(guān)系可求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）利用錯位相消法求出數(shù)列{

an

bn

}前n項(xiàng)和為T_n，然后利用作差可比較

4

3

Tn與（2n²+3n-2）•2^n-1的大小．

解答：解：（1）∵Sn=

n(a1+an)

2

，∴2S_n=n（a₁+a_n）①
當(dāng)n≥2時，2S_n-1=（n-1）（a₁+a_n-1）②
①-②得：2a_n=a₁+na_n-（n-1）a_n-1，即a₁+（n-2）a_n=（n-1）a_n-1③
進(jìn)而a₁+（n-1）a_n+1=na_n④
③-④得2（n-1）a_n=（n-1）a_n-1+（n-1）a_n+1，由于n≥2，∴a_n+1-a_n=a_n-a_n-1
所以數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．（4分）
（2）由（1）知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₁=1，a₂=2，所以a_n=n
∵b1+3b2+32b3+…+3n-1bn=

n

3

⑤
∴當(dāng)n=1時，b1=

1

3

，當(dāng)n≥2時，b1+3b2+32b3+…+3n-2bn-1=

n-1

3

⑥
由⑤-⑥得：3n-1bn=

1

3

，∴bn=

1

3n

，而b1=

1

3

也符合，
故a_n=n，bn=

1

3n

，n∈N*（7分）
（3）

an

bn

=n•3n，∴T_n=1•3+2•3²+…+n•3ⁿ⑦3T_n=1•3²+2•3³+…+n•3ⁿ⁺¹⑧
⑦-⑧并化簡得：Tn=

3[(2n-1)3n+1]

4

（10分）
所以

4

3

Tn=(2n-1)3n+1

4

3

Tn-（2n²+3n-2）•2^n-1=（2n-1）[3ⁿ-（n+2）2^n-1]+1
因?yàn)?ⁿ=（2+1）ⁿ=2ⁿ+C_n¹2^n-1+…≥2ⁿ+n•2^n-1=（n+2）2^n-1
所以3ⁿ≥（n+2）2^n-1對于n∈N^*成立，
∴3ⁿ-（n+2）2^n-1≥0，又由于2n-1＞.0
所以

4

3

Tn-（2n²+3n-2）•2^n-1=（2n-1）[3ⁿ-（n+2）2^n-1]+1＞0
所以

4

3

Tn＞（2n²+3n-2）•2^n-1（13分）

點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系，以及錯位相消法的運(yùn)用，同時考查了利用作差比較法比較大小，屬于中檔題．