Question

已知f（x）=log₃（3+x）+log₃（3-x）．
（1）求f（x）的定義域和值域；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性，并說明理由；
（3）寫出函數f（x）的遞增區(qū)間和遞減區(qū)間．

Answer 1

（1））根據題意可得

3+x＞0 3-x＞0

，解不等式可得-3＜x＜3
∴定義域為（-3，3）
f（x）=log₃（3+x）+log₃（3-x）=log₃（-x²+9）
令t═-x²+9，則t∈（0，9]，f（x）∈（-∞，2]
∴值域為（-∞，2]．
（2）∵定義域為（-3，3）關于原點對稱
∵f（-x）=log₃（3-x）+log₃（3+x）=f（x），
所以函數f（x）為偶函數．
（3）∵t=9-x²在（-3，0]上單調遞增．在（0，3]上單調遞減
∵函數y=log₃t在（0，+∞）單調遞增
根據復合函數的單調性可得函數f（x）的單調增區(qū)間（-3，0]，單調減區(qū)間[0，3）