Question

8．已知R上奇函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，x∈[0，1]時，$f（x）=\frac{1}{2}x$．
（1）求$f（{\frac{15}{2}}）$的值；
（2）當(dāng)x∈[-1，3]時，求f（x）的解析式；
（3）若$f（x）=-\frac{1}{2}$，求x的值．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，有f（x+1）=f（1-x），即有f（-x）=f（x+2）．又函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，故f（x+2）=-f（x），得到f（x）是周期為4的周期函數(shù)，即可求出f（$\frac{15}{2}$）的值，
（2）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)和函數(shù)的周期性即可求出函數(shù)的解析式，
（3）根據(jù)函數(shù)值的求法即可求出．

解答 解：（1）：由函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，
有f（x+1）=f（1-x），即有f（-x）=f（x+2）．
又函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
有f（-x）=-f（x）．
故f（x+2）=-f（x）．
從而f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．
即f（x）是周期為4的周期函數(shù)，
所以f（$\frac{15}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$）=-f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$；
（2）設(shè)x∈[-1，0]，則-x∈[0，1]，
所以f（-x）=-$\frac{1}{2}$x，
所以f（-x）=-f（x），
所以f（x）=$\frac{1}{2}$x
當(dāng)x∈[1，3]時，f（x）=f（2-x）=$\frac{1}{2}$（2-x）=-$\frac{1}{2}$x+1，
所以$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}x，x∈[{-1，1}]\\-\frac{1}{2}x+1，x∈（{1，3}]\end{array}\right.$     
（3）∵$f（x）=-\frac{1}{2}$，
∴x=4k-1，k∈Z．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的奇偶性和周周期性以及分段函數(shù)的解析式以及函數(shù)值的問題，屬于中檔題．