Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-lnx，x＞0}\\{a（x-1），x≤0}\end{array}\right.$（a≠0）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)a≥1時(shí)，求證：函數(shù)f（x）的圖象上有且只有一對(duì)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合一次函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)即可討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）=a（x-1），x≤0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的解析式，將函數(shù)f（x）的圖象上有且只有一對(duì)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，轉(zhuǎn)化為函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，利用構(gòu)造法結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x-lnx，
則f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
由f′（x）＞0得x＞1，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，
由f′（x）＜0得0＜x＜1，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，即當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)取得極小值f（1）=1，
若a＞0，函數(shù)f（x）=a（x-1）在（-∞，0]上為增函數(shù)，
若a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）=a（x-1）在（-∞，0]上為減函數(shù)．
（Ⅱ）當(dāng)a≥1時(shí)，若x≥0，則-x≤0，
則f（-x）=a（-x-1），
若函數(shù)f（x）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f（-x）=a（-x-1）=-f（x），
則f（x）=a（x+1），y=a（x+1）
當(dāng)x＞0時(shí)，由x-lnx=a（x+1），
即lnx+（a-1）x+a=0，
設(shè)g（x）=lnx+（a-1）x+a，x＞0
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）=$\frac{1}{x}$+a-1，
當(dāng)a≥1時(shí)，當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）=$\frac{1}{x}$+a-1＞0，則函數(shù)g（x）為增函數(shù)，
且當(dāng)x→0時(shí)，g（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞0，
故函數(shù)g（x）=lnx+（a-1）x+a，x＞0在a≥1時(shí)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
即函數(shù)f（x）的圖象上有且只有一對(duì)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．