Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若對?x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁≠x₂，恒有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）證明2lnn!≥n+lnn-2+$\frac{1}{n}$（n≥2）．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）＞0，有f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)a＞0時(shí)，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對定義域分段，然后利用導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號可得原函數(shù)的單調(diào)性；
（2）依題意可知，f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，得f′（x）=$\frac{x-\frac{1}{a}}{{x}^{2}}$≥0在[1，+∞）上恒成立，分離參數(shù)a后即可求得a的取值范圍；
（3）要證2lnn!≥n+lnn-2+$\frac{1}{n}$（n≥2），即證$ln\frac{（n!）^{2}}{n}≥n-2+\frac{1}{n}$（n≥2），由（2）知，a=1時(shí)，f（x）=$\frac{1-x}{x}+lnx$在[1，+∞）上單調(diào)遞增，可得lnx$≥1-\frac{1}{x}$（x≥1）．
令x=n（n-1）（n≥2），然后利用累加法即可證明$ln\frac{（n!）^{2}}{n}≥n-1-（1-\frac{1}{n}）=n-2+\frac{1}{n}$，即2lnn!≥n+lnn-2+$\frac{1}{n}$（n≥2）．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx，得f′（x）=$\frac{-ax-a（1-x）}{（ax）^{2}}+\frac{1}{x}=\frac{x-\frac{1}{a}}{{x}^{2}}$（x＞0）．
①當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{a}$．
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞減，在[$\frac{1}{a}$，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）依題意可知，f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
即f′（x）=$\frac{x-\frac{1}{a}}{{x}^{2}}$≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴x-$\frac{1}{a}$≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴$\frac{1}{a}≤x$在[1，+∞）上恒成立，
∴$\frac{1}{a}≤1$，即a≥1或a＜0．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0）∪[1，+∞）；
（3）證明：要證2lnn!≥n+lnn-2+$\frac{1}{n}$（n≥2），即證$ln\frac{（n!）^{2}}{n}≥n-2+\frac{1}{n}$（n≥2），
由（2）知，a=1時(shí)，f（x）=$\frac{1-x}{x}+lnx$在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）=$\frac{1-x}{x}+lnx≥f（1）=0$，
∴l(xiāng)nx$≥1-\frac{1}{x}$（x≥1）．
令x=n（n-1）（n≥2），
∴l(xiāng)n[n（n-1）]≥1-$\frac{1}{n（n-1）}$=1-（$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$）．
∴l(xiāng)n（1×2）≥1-（1-$\frac{1}{2}$），ln（2×3）≥1-（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$），ln（3×4）≥1-（$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$），
…
ln[n（n-1）]≥1-（$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$）．
累加得：$ln\frac{（n!）^{2}}{n}≥n-1-（1-\frac{1}{n}）=n-2+\frac{1}{n}$．
∴2lnn!≥n+lnn-2+$\frac{1}{n}$（n≥2）．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用累加法證明函數(shù)不等式，是壓軸題．