20.如圖,在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=4,E是PD的中點.
(1)求證:平面PDC⊥平面PAD;
(2)求二面角E-AC-D的余弦值.

分析 (1)由PA⊥平面ABCD,得PA⊥CD,再由AD⊥CD,利用線面垂直的判定可得CD⊥平面PAD,從而得到平面PDC⊥平面PAD;
(2)分別以AB、AD、AP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系o-xyz.求出A,C,E的坐標,進一步求出平面AEC與平面ACD的一個法向量,利用兩法向量所成角的余弦值可得二面角E-AC-D的余弦值.

解答 (1)證明:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD,
又∵AD⊥CD且AD∩PA=A,
∴CD⊥平面PAD,
∴平面PDC⊥平面PAD
(2)∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥AB,PA⊥AD,
又∵AB⊥AD,
∴分別以AB、AD、AP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系o-xyz.
則A(0,0,0),C(2,4,0),E(0,2,1),
$\overrightarrow{AC}=(2,4,0)$,$\overrightarrow{AE}=(0,2,1)$,
設平面AEC的一個法向量$\overrightarrow{m}=(x,y,z)$,
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=2x+4y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=2y+z=0}\end{array}\right.$,取y=1,則$\overrightarrow{m}=(-2,1,-2)$.
又∵平面ACD的一個法向量$\overrightarrow{n}=(0,0,1)$,
∴cos<$\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}$>=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2}{3×1}=-\frac{2}{3}$.
又二面角E-AC-D為銳二面角,
∴二面角E-AC-D所成平面角的余弦值是$\frac{2}{3}$.

點評 本題考查平面與平面垂直的判定,考查空間想象能力和思維能力,訓練了利用空間向量求解二面角的平面角,是中檔題.

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