Question

甲，乙，丙三人射擊同一目標(biāo)，各射擊一次，已知甲擊中目標(biāo)的概率為

3

5

，乙與丙擊中目標(biāo)的概率分別為m，n，每人是否擊中目標(biāo)是相互獨(dú)立的．記目標(biāo)被擊中的次數(shù)為ξ，且ξ的分布列如下表：

ξ	0	1	2	3
P	1 15	3 10	a	b

則Eξ=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：由題設(shè)可得，P（ξ=0）=

2

5

（1-m）（1-n）=

1

15

，P（ξ=1）=

3

5

(1-m)(1-n)+

2

5

m(1-n)+

2

5

n(1-m)=

3

10

，解得m=

2

3

，n=

1

2

，由此能求出Eξ．

解答： 解：由題設(shè)可得，P（ξ=0）=

2

5

（1-m）（1-n）=

1

15

，
化簡(jiǎn)，得mn-（m+n）=-

5

6

，①
P（ξ=1）=

3

5

(1-m)(1-n)+

2

5

m(1-n)+

2

5

n(1-m)
=

1

10

+

2

5

(m+n)-

4

5

mn=

3

10

，
∴m+n-2mn=

1

2

，②
聯(lián)立①②，解得m=

2

3

，n=

1

2

，
由題設(shè)，得b=P（ξ=3）=

3

5

×

2

3

×

1

2

=

1

5

，
∴a=1-（

1

15

+

1

10

+

1

5

）=

13

30

，
∴Eξ=0×

1

15

+1×

3

10

+2×

13

30

+3×

1

5

=

53

30

．
故答案為：

53

30

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型．