Question

定義：關(guān)于x的兩個不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集分別為（a，b）和（

1

b

，

1

a

），則稱這兩個不等式為對偶不等式．如果不等式x²-4

3

xcos2θ+2＜0與不等式x²-2xsin2θ+

1

2

＜0為對偶不等式，此處θ∈（0，π），則θ=

 

．

Answer 1

考點：其他不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：設(shè)x²-4

3

xcos2θ+2=0的兩個根為t₁、t₂，且 t₁＜t₂，則由題意利用二次函數(shù)的性質(zhì)，韋達(dá)定理求得tan2θ=

3

．再結(jié)合θ∈（0，π），可得θ 的值．

解答： 解：設(shè)x²-4

3

xcos2θ+2=0的兩個根為t₁、t₂，且 t₁＜t₂，則由題意可得x²-2xsin2θ+

1

2

=的根為

1

t2

、

1

t1

，且

1

t2

＜

1

t1

．
再利用韋達(dá)定理可得t₁+t₂=4

3

cos2θ，t₁•t₂=2，且

1

t2

+

1

t1

=2sin2θ，

1

t2

•

1

t1

=

1

2

．
再根據(jù)

1

t2

+

1

t1

=

t1+t2

t1•t2

 可得2sin2θ=

4 3 cos2θ

2

，求得tan2θ=

3

．
再結(jié)合θ∈（0，π），可得2θ=

π

3

，或2θ=

4π

3

，∴θ=

π

6

 或θ=

2π

3

，
故答案為：

π

6

或

2π

3

．

點評：本題主要考查新定義、二次函數(shù)的性質(zhì)，韋達(dá)定理的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于基礎(chǔ)題．