Question

19．過點M（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）作圓x²+y²=1的切線l，l與x軸的交點為拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點，l與拋物線E交于A、B兩點，則AB中點到拋物線E的準(zhǔn)線的距離為（　�。�

• A． $\frac{5\sqrt{2}}{2}$
• B． 3$\sqrt{2}$
• C． $\frac{7}{2}$$\sqrt{2}$
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用已知條件求出切線方程，求出拋物線的焦點坐標(biāo)，得到拋物線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理求出中點的橫坐標(biāo)，然后求解結(jié)果．

解答 解：過點M（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）作圓x²+y²=1的切線l，點在圓上，可得曲線的斜率為：1，
切線方程為：y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得x-y-$\sqrt{2}$=0，直線與x軸的交點坐標(biāo)（$\sqrt{2}$，0），
可得拋物線方程為：y²=4$\sqrt{2}$x，
$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4\sqrt{2}x}\\{y=x-\sqrt{2}}\end{array}\right.$，可得x²-6$\sqrt{2}x$+2=0，l與拋物線E交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
可得：x₁+x₂=6$\sqrt{2}$，
則AB中點到拋物線E的準(zhǔn)線的距離為：3$\sqrt{2}+\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$．
故選：D．

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查計算能力．