Question

4．已知橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2$\sqrt{3}$，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求橢圓M的方程；
（2）若圓N：x²+y²=r²的斜率為k的切線l與橢圓M相交于P、Q兩點，OP與OQ能否垂直？若能垂直，請求出相應(yīng)的r的值，若不能垂直，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2$\sqrt{3}$，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．求出a，b，然后求解橢圓方程．
（2）設(shè)直線l的方程為：y=kx+m，利用直線l與圓：x²+y²=1相切，推出m²=r²（k²+1），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$
通過判別式△＞0，得r²＜4，令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理通過$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=0，求出r=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，滿足r²＜4，說明OP與OQ能垂直．

解答 解：（1）依題意橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2$\sqrt{3}$，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
得c=$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得a=2，則b=1，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$…（4分）
（2）設(shè)直線l的方程為：y=kx+m，
∵直線l與圓：x²+y²=1相切，
∴$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=r，即m²=r²（k²+1）…①…（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$
可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-4）=64k²-16m²+16＞0
所以m²＜4k²+1可得r²＜4
令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，…（8分）${y_1}{y_2}=（{k{x_1}+m}）（{k{x_2}+m}）={k^2}{x_1}{x_2}+km（{{x_1}+{x_2}}）+{m^2}$
若OP與OQ能垂直，則$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=0，…（9分）
∴$（{1+{k^2}}）{x_1}{x_2}+km（{{x_1}+{x_2}}）+{m^2}=0$，
（1+k²）$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$+$\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}$+m²=0，…（
整理得5m²-4（k²+1）=0，…（11分）
把①代入得（k²+1）（5r²-4）=0，
∴r=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，滿足r²＜4
OP與OQ能垂直．…（12分）

點評 本小題主要考查直線與圓錐曲線、直線與圓位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、函數(shù)與方程思想等．