Question

5．多面體ABCDEF中，底面ABCD為正方形，BE∥DF，BE=DF，BE⊥平面ABCD且 BE=2AB=2，點(diǎn)P是線段BE上的一點(diǎn)，且BP=λ．
（Ⅰ）當(dāng)λ=$\frac{1}{2}$時(shí)，求證：BF⊥平面PAC；
（Ⅱ）當(dāng)直線BF與平面PAC所成角的正切值為2$\sqrt{2}$時(shí)，求λ 的值．

Answer 1

分析 （I）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DF為坐標(biāo)軸軸，求出$\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AP}$的坐標(biāo)，通過(guò)計(jì)算數(shù)量積證明AC⊥BF，AP⊥BF，得出BF⊥平面APC；
（II）求出平面APC的法向量$\overrightarrow{n}$，令|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BF}$＞|=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$解出λ．

解答 （Ⅰ）證明：∵BE∥DF，BE⊥平面ABCD，∴DF⊥平面ABCD．
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DF為坐標(biāo)軸軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖
則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），F(xiàn)（0，0，2），P（1，1，$\frac{1}{2}$ ）．
∴$\overrightarrow{BF}=（-1，-1，2），\overrightarrow{AC}=（-1，1，0），\overrightarrow{AP}=（0，1，\frac{1}{2}）$ 
∵$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{AC}=0，\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{AP}=0$ 
∴AC⊥BF，AP⊥BF，
又AP?平面PAC，AC?平面PAC，AP∩AC=A，
∴BF⊥平面PAC．
（II）解：∵P（1，1，λ ）（0≤λ≤2），∴$\overrightarrow{AP}$=（0，1，λ），
設(shè)平面PAC的法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
則$\overrightarrow n•\overrightarrow{AC}=0，\overrightarrow n•\overrightarrow{AP}=0$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+y=0}\\{y+λz=0}\end{array}\right.$，取z=1，則$\overrightarrow n=（-λ，-λ，1）$．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}$=2λ+2，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{2{λ}^{2}+1}$，|$\overrightarrow{BF}$|=$\sqrt{6}$．
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BF}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BF}|}$=$\frac{2λ+2}{\sqrt{6}\sqrt{2{λ}^{2}+1}}$．
設(shè)直線BF 與平面PAC 所成角的為θ，則$tanθ=2\sqrt{2}$，∴$sinθ=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．
∴$\frac{2λ+2}{\sqrt{6}\sqrt{2{λ}^{2}+1}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
解得λ=1或$λ=\frac{1}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定，空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．