分析 (1)證明四邊形BCDM是菱形,對(duì)角線BD⊥CM,再證明FD⊥CM,即可證明CM⊥平面BDF,從而得平面CFM⊥平面BDF;
(2)過(guò)點(diǎn)N作NP∥EF,交DF與點(diǎn)P,連接PM,證明平面PMN∥平面BEF,即可證明MN∥平面BEF.
解答 解:(1)證明:直角梯形ABCD中,AB∥CD,BC=2,AB=4,且M是AB的中點(diǎn),
∴BM=CD,∴四邊形BCDM是平行四邊形,
又BC=CD=2,∴平行四邊形BCDM是菱形;
∴BD⊥CM,
又FD⊥底面ABCD,CM?平面BCDM,∴FD⊥CM,
且FD∩BD=D,
∴CM⊥平面BDF,
有CM?平面CFM,
∴平面CFM⊥平面BDF;
(2)過(guò)點(diǎn)N作NP∥EF,交DF與點(diǎn)P,連接PM,如圖所示;
∵EC∥FD,∴四邊形EFPN是平行四邊形,
又點(diǎn)N為線段CE的中點(diǎn),EC=2,F(xiàn)D=3,
∴FP=$\frac{1}{2}$EC=1,
PD=EC=2,
∴PE∥CD,且PE=CD,
又BM∥CD,且BM=CD,
∴BM∥PE,且PE=BM,
∴四邊形BEPM為平行四邊形,
∴PM∥BE;
又PM?平面BEF,BE?平面BEF,∴PM∥平面BEF;
同理,PM∥平面BEF,
又PM∩PN=P,PM?平面PMN,PN?平面PMN,
∴平面PMN∥平面BEF,
又MN?平面PMN,∴MN∥平面BEF.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了線面平行,面面平行與垂直的應(yīng)用問題,解題時(shí)應(yīng)熟記空間中的平行關(guān)系與垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化,是中檔題目.求解
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