Question

（08年龍巖一中沖刺文）（12分）

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD垂直于底面ABCD，AD=PD＝1，，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng).

    （1）若E為AB中點(diǎn)，求證：；

    （2）若E為AB中點(diǎn)，求E到面的距離；

    （3）AE等于何值時(shí)，二面角的大小

為

Answer 1

解析：方法一：

（1）證明：PD垂直于底面ABCD，

在矩形ABCD中，AD＝1，，E為AB中點(diǎn)，可得，

，，又

……………4分

 

（2）設(shè)點(diǎn)E到平面的距離為h，由題設(shè)可得

計(jì)算得

          則　　　　　　　……………8分

（3）過D作，垂足為H，連則

為二面角的平面角.

設(shè)，在直角中，

在直角中，在直角中，

在直角中，，在直角中，

因?yàn)橐陨细鞑讲讲娇赡�，所以�?dāng)時(shí)，二面角的大小為……12分

方法二：以Ｄ為原點(diǎn)，如圖建立空間坐標(biāo)系，

有

（1）證明：因?yàn)?I>E是AB中點(diǎn)，有

∵，

，

∴，

所以　　……………4分

（2）解：因?yàn)?I>E是AB中點(diǎn)，有，      設(shè)平面的法向量為則也即，

得，從而，點(diǎn)E到平面的距離………8分

（3）設(shè)，平面的法向量為

由令，得

則于是

（不合，舍去），

即時(shí)，二面角的大小為　　　…………………12分