Question

3．已知$f（x）=asin（2x+\frac{π}{6}）+b$，（a，b∈R且a≠0）
（1）當(dāng)a=-2，b=0時(shí)，求f（x）的最小正周期與單調(diào)減區(qū)間；
（2）當(dāng)$x∈[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$時(shí)，其值域?yàn)閇-3，1]，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=-2，b=0時(shí)，根據(jù)函數(shù)f（x）=-2sin（2x+$\frac{π}{6}$），求得它的周期，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的減區(qū)間．
（2）由條件求得sin（2x+$\frac{π}{6}$）的范圍，再分a＞0、a＜0兩種情況，分別根據(jù)值域求得a、b的值．

解答 解：（1）當(dāng)a=-2，b=0時(shí)，函數(shù)f（x）=asin（2x+$\frac{π}{6}$）+b=-2sin（2x+$\frac{π}{6}$） 的周期為$\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，故函數(shù)f（x）的減區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（2）由$\frac{π}{4}≤x≤\frac{3π}{4}$，則$\frac{2π}{3}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{5π}{3}$，∴$-1≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤\frac{1}{2}$．
若a＞0時(shí)，由$\left\{{\begin{array}{l}{-a+b=-3}\\{\frac{1}{2}a+b=1}\end{array}}\right.⇒a=\frac{8}{3}\;，b=-\frac{1}{3}$
若a＜0時(shí)，由$\left\{{\begin{array}{l}{-a+b=1}\\{\frac{1}{2}a+b=-3}\end{array}}\right.⇒a=-\frac{8}{3}\;，b=-\frac{5}{3}$
綜上可得：$a=\frac{8}{3}\;，b=-\frac{1}{3}或者$$a=-\frac{8}{3}\;，b=-\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．