Question

13．F₁，F(xiàn)₂是橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M是橢圓上一點(diǎn)，若MF₁⊥MF₂，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為±$\frac{5\sqrt{7}}{4}$．

Answer 1

分析 求得橢圓的a，b，c，可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)M（m，n），求得向量MF₁的坐標(biāo)，向量MF₂的坐標(biāo)，再由向量垂直的條件：數(shù)量積為0，結(jié)合M在橢圓上，滿(mǎn)足橢圓方程，解方程可得m的值．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的a=5，b=3，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=4，
F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），
設(shè)M（m，n），即有$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=（-4-m，-n），$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（4-m，-n），
若MF₁⊥MF₂，則$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（-4-m）（4-m）+n²=0，
可得m²+n²=16，①
又M在橢圓上，可得$\frac{{m}^{2}}{25}$+$\frac{{n}^{2}}{9}$=1，②
由①②解得，m=±$\frac{5\sqrt{7}}{4}$．
故答案為：±$\frac{5\sqrt{7}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查向量垂直的條件：數(shù)量積為0，考查解方程的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．