Question

14．共有4個(gè)蘋果和4個(gè)袋子，將每個(gè)蘋果都隨意裝入某個(gè)袋子中，每個(gè)蘋果放入的袋子獨(dú)立于其它蘋果．
（1）記隨機(jī)變量X表示空袋子的數(shù)目，求X的分布列和期望；
（2）將4個(gè)袋子分別編號(hào)為1，2，3，4號(hào)，記1號(hào)袋子為空袋的概率為p₁，2號(hào)袋子為空袋的概率為p₂，3號(hào)袋子為空袋的概率為p₃，4號(hào)袋子為空袋的概率為p₄，求p₁、p₂、p₃、p₄；
（3）比較E（X）與p₁+p₂+p₃+p₄的大��；
（4）不計(jì)算E（X）與p₁+p₂+p₃+p₄的值，直接解釋它們的大小關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）由題意得X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和期望．
（2）每個(gè)袋子是空袋的概率相等，先求出4個(gè)蘋果裝入3個(gè)袋子的種數(shù)，再求出4個(gè)蘋果裝入4個(gè)袋子的種數(shù)，由此能求出結(jié)果．
（3）求出EX和p₁+p₂+p₃+p₄，由此能比較E（X）與p₁+p₂+p₃+p₄的大�。�
（4）在古典概型中，1號(hào)袋子為空袋、2號(hào)袋子為空袋、3號(hào)袋子為空袋、4號(hào)袋子為空袋的概率相等，都等于空個(gè)數(shù)數(shù)學(xué)期望的$\frac{1}{4}$，從而E（X）=p₁+p₂+p₃+p₄．

解答 解：（1）由題意得X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{{C}_{4}^{4}C}_{4}^{4}}{{C}_{4}^{4}{C}_{4}^{4}+{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{3}+{C}_{4}^{3}{C}_{4}^{2}+{C}_{4}^{4}{C}_{4}^{1}}$=$\frac{1}{53}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{3}}{{C}_{4}^{4}{C}_{4}^{4}+{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{3}+{C}_{4}^{3}{C}_{4}^{2}+{C}_{4}^{4}{C}_{4}^{1}}$=$\frac{24}{53}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{3}}{{C}_{4}^{4}{C}_{4}^{4}+{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{3}+{C}_{4}^{3}{C}_{4}^{2}+{C}_{4}^{4}{C}_{4}^{1}}$=$\frac{24}{53}$，
P（X=3）=$\frac{{{C}_{4}^{4}C}_{4}^{1}}{{C}_{4}^{4}{C}_{4}^{4}+{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{3}+{C}_{4}^{3}{C}_{4}^{2}+{C}_{4}^{4}{C}_{4}^{1}}$=$\frac{4}{53}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{53}$	$\frac{24}{53}$	$\frac{24}{53}$	$\frac{4}{53}$

EX=$0×\frac{1}{53}+1×\frac{24}{53}+2×\frac{24}{53}+3×\frac{4}{52}$=$\frac{84}{53}$．
（2）∵4個(gè)蘋果和4個(gè)袋子，將每個(gè)蘋果都隨意裝入某個(gè)袋子中，每個(gè)蘋果放入的袋子獨(dú)立于其它蘋果，
將4個(gè)袋子分別編號(hào)為1，2，3，4號(hào)，
∴每個(gè)袋子是空袋的概率相等，
∴p₁=p₂=p₃=p₄=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{3}^{3}+{C}_{4}^{3}{C}_{3}^{2}+{C}_{4}^{4}{C}_{3}^{1}}{{C}_{4}^{4}{C}_{4}^{4}+{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{3}+{C}_{4}^{3}{C}_{4}^{2}+{C}_{4}^{4}{C}_{4}^{1}}$=$\frac{21}{53}$．
（3）EX=$0×\frac{1}{53}+1×\frac{24}{53}+2×\frac{24}{53}+3×\frac{4}{52}$=$\frac{84}{53}$，
p₁+p₂+p₃+p₄=$\frac{21}{53}×4$=$\frac{84}{53}$．
∴E（X）=p₁+p₂+p₃+p₄．
（4）E（X）表示空袋個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望，
在古典概型中，1號(hào)袋子為空袋、2號(hào)袋子為空袋、3號(hào)袋子為空袋、4號(hào)袋子為空袋的概率相等，都等于空個(gè)數(shù)數(shù)學(xué)期望的$\frac{1}{4}$，
∴E（X）=p₁+p₂+p₃+p₄．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．