Question

已知函數(shù)f（x）=alnx，a∈R．
（I）若曲線y=f（x）與曲線g（x）=

x

在交點處有共同的切線，求a的值；
（Ⅱ）若對任意x∈[1，e]，都有f（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（I）已知曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在交點處有相同的切線，求a的值及該切線的方程，考慮到求解導函數(shù)的方法，先求出交點，再根據(jù)切線相等求出a．
（Ⅱ）由f（x）≥-x²+（a+2）x分離出參數(shù)a后，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，利用導數(shù)可求最值；

解答： 解：（I）已知函數(shù)g（x）=

x

，f（x）=alnx，a∈R．
則：g′（x）=

1

2 x

，f′（x）=

a

x

（x＞0），
由已知曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在交點處有相同的切線，
故有

x

=alnx且

1

2 x

=

a

x

，
解得a=

e

2

；
（Ⅱ）由f（x）≥-x²+（a+2）x，得（x-lnx）a≤x²-2x．
∵x∈[1，e]，∴l(xiāng)nx≤1≤x，且等號不能同時取，
∴l(xiāng)nx＜x，即x-lnx＞0，
∴a≤

x2-2x

x-lnx

恒成立，即a≤（

x2-2x

x-lnx

）_min．     
令t（x）=

x2-2x

x-lnx

，x∈[1，e]，求導得，t′（x）=

(x-1)(x+2-lnx)

(x-lnx)2

，
當x∈[1，e]時，x-1≥0，lnx≤1，x+2-lnx＞0，從而t′（x）≥0，
∴t（x）在[1，e]上為增函數(shù)，t_min（x）=t（1）=-1，
∴a≤-1．

點評：此題考查利用導函數(shù)的幾何意義，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值、函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學生分析解決問題的能力．