Question

2．當(dāng)x∈[-4，0]時，a+$\sqrt{-{x^2}-4x}$≤$\frac{4}{3}$x+1恒成立，則a的一個可能的值是（　�。�

• A． 5
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $-\frac{5}{3}$
• D． -5

Answer 1

分析 由題意可得$\sqrt{-{x^2}-4x}$≤$\frac{4}{3}$x+1-a，分別作出函數(shù)y=$\sqrt{-{x^2}-4x}$和函數(shù)y=$\frac{4}{3}$x+1-a的圖象，當(dāng)直線y=$\frac{4}{3}$x+1-a和半圓相切時，由d=r，求得a，再由直線平移，可得a的范圍．

解答 解：當(dāng)x∈[-4，0]時，a+$\sqrt{-{x^2}-4x}$≤$\frac{4}{3}$x+1恒成立，即為
$\sqrt{-{x^2}-4x}$≤$\frac{4}{3}$x+1-a，
分別作出函數(shù)y=$\sqrt{-{x^2}-4x}$和函數(shù)y=$\frac{4}{3}$x+1-a的圖象，
當(dāng)直線y=$\frac{4}{3}$x+1-a和半圓相切時，有圓心（-2，0）到直線的距離為2，
由直線和圓相離可得$\frac{|-\frac{8}{3}+1-a|}{\sqrt{\frac{16}{9}+1}}$≥2，
解得a≤-5或a≥$\frac{5}{3}$，
由x=0時，截距為1-a＞0，則a≥$\frac{5}{3}$舍去．
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，主要直線和圓的位置關(guān)系，通過數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵．