20.設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-|x-2|}+1(x≠2)}\\{a(x=2)}\end{array}\right.$,若關(guān)于x的方程2f2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則a的取值范圍是(1,$\frac{3}{2}$)∪($\frac{3}{2}$,2).

分析 作出函數(shù)f(x)的圖象,利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布情況,利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.

解答 解:作出函數(shù)f(x)的圖象如圖:

設(shè)t=f(x),則方程2f2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0等價(jià)為2t2-(2a+3)t+3a=0,即(t-a)(2t-3)=0,
得t=$\frac{3}{2}$或t=a,
當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時(shí),f(x)=t=$\frac{3}{2}$此時(shí)有兩個(gè)根,
要使方程2f2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,
則等價(jià)為f(x)=a,有三個(gè)不同的根,
即1<a<2,且a≠$\frac{3}{2}$,
即a的取值范圍是(1,$\frac{3}{2}$)∪($\frac{3}{2}$,2),
故答案為:(1,$\frac{3}{2}$)∪($\frac{3}{2}$,2).

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用,利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的情況,利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論是解決本題的關(guān)鍵,綜合性較強(qiáng),有一定的難度.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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