Question

9．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若$bcosC+\frac{csinB}{{\sqrt{3}}}=a$．
（1）求角B的大��；
（2）若△ABC的面積為$\sqrt{3}$，A＞C，且其外接圓的面積為4π．試求邊a與邊c的值．

Answer 1

分析 （1）由已知，利用正弦定理可得sinA=sinBcosC+$\frac{sinCsinB}{\sqrt{3}}$，化簡(jiǎn)整理即可得出；
（2）由已知及三角形面積公式可解得ac=4①，設(shè)外接圓半徑為R，由圓的面積公式可求R=2，利用正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{c}{sinC}=2R=4$，解得b，由余弦定理可得：a²+c²=16，②，由①②聯(lián)立，結(jié)合大邊對(duì)大角的知識(shí)即可得解a，c的值．

解答 解：（1）∵$bcosC+\frac{csinB}{{\sqrt{3}}}=a$，
∴sinA=sinBcosC+$\frac{sinCsinB}{\sqrt{3}}$，
∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinB，sinC≠0，
化為cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinB，
化為tanB=$\sqrt{3}$，B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵B=$\frac{π}{3}$，△ABC的面積為$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac，可得：ac=4，①
∵其外接圓的面積為4π．設(shè)外接圓半徑為R，則可得：4π=πR²，解得：R=2，
∴由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{c}{sinC}=2R=4$，解得：b=2$\sqrt{3}$，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB可得：12=a²+c²-ac=a²+c²-4，可得：a²+c²=16，②
∴由①②聯(lián)立解得：$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{6}+\sqrt{2}}\\{a=\sqrt{6}-\sqrt{2}}\end{array}\right.$（A＞C，故舍去），或$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{6}-\sqrt{2}}\\{a=\sqrt{6}+\sqrt{2}}\end{array}\right.$．
∴可得：$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{6}-\sqrt{2}}\\{a=\sqrt{6}+\sqrt{2}}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理、余弦定理，三角形面積公式，大邊對(duì)大角，三角函數(shù)的單調(diào)性在解三角形中的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．