Question

2．在極坐標系中，曲線C的方程為ρ²=$\frac{3}{1+2si{n}^{2}θ}$，點R（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）以極點為原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，把曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，R點的極坐標化為直角坐標；
（Ⅱ）設P為曲線C上一動點，以PR為對角線的矩形PQRS的一邊垂直于極軸，求矩形PQRS周長的最小值，及此時P點的直角坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先根據(jù)變換關系式把極坐標方程轉化成直角坐標方程，進一步把極坐標轉化成直角坐標．
（Ⅱ）把橢圓的直角坐標形式轉化成參數(shù)形式，進一步把矩形的周長轉化成三角函數(shù)的形式，通過三角恒等變換求出最小值，進一步求出P的坐標．

解答 解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，
則：曲線C的方程為ρ²=$\frac{3}{1+2si{n}^{2}θ}$，轉化成$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
點R的極坐標轉化成直角坐標為：R（2，2）．
（Ⅱ）設P（$\sqrt{3}cosθ，sinθ$）
根據(jù)題意，得到Q（2，sinθ），
則：|PQ|=$2-\sqrt{3}cosθ$，|QR|=2-sinθ，
所以：|PQ|+|QR|=$4-2sin（θ+\frac{π}{3}）$．
當$θ=\frac{π}{6}$時，（|PQ|+|QR|）_min=2，
矩形的最小周長為4，點P（$\frac{3}{2}，\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查的知識要點：極坐標方程轉化成直角坐標方程，極坐標和直角坐標的互化，三角函數(shù)關系式的恒等變換，求正弦型函數(shù)的最值問題．