Question

17．設(shè)P為雙曲線C：x²-y²=1上一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂分別為雙曲線C的左右焦點(diǎn)，若cos∠F₁PF₂=$\frac{1}{3}$，則△PF₁F₂的外接圓的半徑為（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 3
• C． $\frac{9}{4}$
• D． 9

Answer 1

分析 求出雙曲線的a，b，c，得到焦距，再由同角的平方關(guān)系結(jié)合三角形中的正弦定理，可得外接圓的直徑，進(jìn)而得到半徑．

解答 解：由cos∠F₁PF₂=$\frac{1}{3}$，
可得sin∠F₁PF₂=$\sqrt{1-\frac{1}{9}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
雙曲線C：x²-y²=1的a=b=1，c=$\sqrt{2}$，
即有|F₁F₂|=2c=2$\sqrt{2}$，
在三角形PF₁F₂中，由正弦定理可得，
△PF₁F₂的外接圓的直徑為$\frac{|{F}_{1}{F}_{2}|}{sin∠{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$=3，
即有△PF₁F₂的外接圓的半徑為$\frac{3}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的焦距，同時(shí)考查正弦定理的運(yùn)用，屬于中檔題．