Question

12．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形AA₁C₁C是邊長為2的菱形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，∠A₁AC=60°，∠BCA=90°．
（Ⅰ）求證：A₁B⊥AC₁；
（Ⅱ）已知點E是AB的中點，BC=AC，求直線EC₁與平面ABB₁A₁所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先利用面面垂直轉化成線面垂直，進一步得出線線垂直．
（Ⅱ）根據兩兩垂直的關系，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，進一步利用向量的夾角余弦公式求出線面的夾角的正弦值．

解答 （Ⅰ）證明：取AC的中點O，連接A₁O，
由于平面ABC⊥平面AA₁C₁C，A₁O⊥AC，
所以：A₁O⊥平面ABC，
所以：A₁O⊥BC，
又BC⊥AC，
所以：BC⊥平面A₁AC，
又AC₁⊥A₁C，A₁C為A₁B的射影，
所以：A₁B⊥AC₁．
（Ⅱ）以O為坐標原點建立空間直角坐標系O-xyz，
A（0，-1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），C₁（0，2，$\sqrt{3}$），
則：$\overrightarrow{AB}=（2，2，0）$，$\overrightarrow{{BB}_{1}}=\overrightarrow{{CC}_{1}}=（0，1，\sqrt{3}）$，
設$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面ABB₁A₁的法向量，
所以：$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=0\\ \overrightarrow{m}•\overrightarrow{{BB}_{1}}=0\end{array}\right.$，
$\left\{\begin{array}{l}2x+2y=0\\ y+\sqrt{3}z=0\end{array}\right.$
求得：$\overrightarrow{m}=（-\sqrt{3}，\sqrt{3}，-1）$，
由E（1，0，0）
求得：$\overrightarrow{{EC}_{1}}=（-1，2，\sqrt{3}）$，
直線EC₁與平面ABB₁A₁所成的角的正弦值
sinθ=cos$＜\overrightarrow{EC}，\overrightarrow{m}＞$=$\left|\frac{\overrightarrow{{EC}_{1}}•\overrightarrow{m}}{\left|\overrightarrow{{EC}_{1}}\right|\left|\overrightarrow{m}\right|}\right|=\frac{\sqrt{42}}{14}$．

點評 本題考查的知識要點：線面垂直與面面垂直與線線垂直之間的轉化，空間直角坐標系，法向量的應用，線面的夾角的應用，主要考查學生的空間想象能力．