Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=2xlnx-1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值及曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若不等式f（x）≤3x³+2ax恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得極值、最值；求得切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式方程可得切線方程；
（2）由題意可得a≥lnx-$\frac{3x}{2}$-$\frac{1}{2x}$，在（0，+∞）上恒成立，構(gòu)造函數(shù)h（x）=lnx-$\frac{3x}{2}$-$\frac{1}{2x}$，h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$=-$\frac{（x-1）（3x+1）}{2{x}^{2}}$，求解最大值，即可求解a的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2xlnx-1的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2（lnx+1），
當(dāng)x＞$\frac{1}{e}$時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{e}$時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有x=$\frac{1}{e}$取得極小值，也為最小值，且為-$\frac{2}{e}$-1；
可得曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為k=f′（1）=2，
切點(diǎn)為（1，-1），曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y+1=2（x-1），
即為2x-y-3=0；
（2）不等式f（x）≤3x³+2ax恒成立，
可得：a≥lnx-$\frac{3x}{2}$-$\frac{1}{2x}$，在（0，+∞）上恒成立，
設(shè)h（x）=lnx-$\frac{3x}{2}$-$\frac{1}{2x}$，h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$=-$\frac{（x-1）（3x+1）}{2{x}^{2}}$，
h′（x）=0，得：x=1，x=-$\frac{1}{3}$（舍去），
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0，
當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＜0，
∴當(dāng)x=1時(shí)，h（x）_max=-2，
∴a≥-2，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍：[-2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解切線方程和函數(shù)最值，解決不等式恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．