【題目】在平面直角坐標系中，點是圓：上的動點，定點，線段的垂直平分線交于，記點的軌跡為.

（Ⅰ）求軌跡的方程；

（Ⅱ）若動直線：與軌跡交于不同的兩點、，點在軌跡上，且四邊形為平行四邊形.證明：四邊形的面積為定值.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見證明

【解析】

(Ⅰ)由題意利用圖形的幾何性質(zhì)和橢圓的定義即可確定軌跡方程；

(Ⅱ)聯(lián)立直線方程與(Ⅰ)中求得的軌跡方程，結合韋達定理和平行四邊形的性質(zhì)得到面積的表達式，進一步計算即可證得其面積為定值.

（Ⅰ）由題意：，

∴根據(jù)橢圓的定義，點的軌跡是以、為焦點的橢圓，其中，.

∴，，，

∴軌跡的方程為：；

（Ⅱ）證明：設、，

聯(lián)立方程組，得，

，∴，

，，

∴的中點，∴，

點在橢圓上，∴，

∴，

∴ ，

點到直線的距離，

∴

.

∴四邊形的面積為定值.

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】一個圓經(jīng)過點，且和直線相切．

（1）求動圓圓心的軌跡的方程；

（2）已知點，設不垂直于軸的直線與軌跡交于不同的兩點，若軸是的角平分線，證明直線過定點．

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【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，求實數(shù)的取值范圍；

（2）設函數(shù)的極大值為，極小值為，求的取值范圍.

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（I）求頂點的坐標；

（II）求直線的方程．

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【題目】在四棱錐中，四邊形是矩形，平面平面，點分別為中點.

（1）求證：平面.

（2）若.

①求二面角的余弦值.

②求三棱錐的體積.

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【題目】已知函數(shù)，．

（1）若直線與函數(shù)的圖象相切，求實數(shù)的值；

（2）若存在，，使，且，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當時，求證：．

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【題目】已知數(shù)列滿足（），（）．

（1）若，證明：是等比數(shù)列；

（2）若存在，使得，，成等差數(shù)列．

① 求數(shù)列的通項公式；

② 證明：．

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【題目】已知橢圓，為左、右焦點，直線過交橢圓于，兩點.

（1）若垂直于軸時，求；

（2）當時，在軸上方時，求，的坐標；

（3）若直線交軸于，直線交軸于，是否存在直線，使，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了在夏季降溫和冬季取暖時減少能源消耗，業(yè)主決定對房屋的屋頂和外墻噴涂某種新型隔熱材料，該材料有效使用年限為20年．已知房屋外表噴一層這種隔熱材料的費用為每毫米厚6萬元，且每年的能源消耗費用（萬元）與隔熱層厚度（毫米）滿足關系：．設為隔熱層建造費用與年的能源消耗費用之和．

（1）請解釋的實際意義，并求的表達式；

（2）當隔熱層噴涂厚度為多少毫米時，業(yè)主所付的總費用最少？并求此時與不建隔熱層相比較，業(yè)主可節(jié)省多少錢？

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