Question

1．如圖，AB是拋物線y²=2px（p＞0）的一條經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F的弦，AB與兩坐標(biāo)軸不垂直，已知點(diǎn)M（-1，0），∠AMF=∠BMF，則p的值是（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖象作AC⊥x軸、BD⊥x軸，設(shè)AB的直線方程y=k（x-$\frac{p}{2}$）（k≠0），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），聯(lián)立直線方程和拋物線方程消去y，由韋達(dá)定理求出x₁+x₂和x₁x₂式子，由∠AMF=∠BMF得tan∠AMF=tan∠BMF，由圖象得$\frac{AC}{MC}=\frac{BD}{MD}$，用A、B的坐標(biāo)表示出線段的長(zhǎng)，把求出的式子代入化簡(jiǎn)，列出關(guān)于p的方程再化簡(jiǎn)求值．

解答 解：如右圖作AC⊥x軸，BD⊥x軸，
設(shè)AB的直線方程為：y=k（x-$\frac{p}{2}$）（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，得${k}^{2}{x}^{2}-（{k}^{2}p+2p）x+\frac{{k}^{2}{p}^{2}}{4}=0$，
則x₁+x₂=$\frac{{k}^{2}p+2p}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，
∵∠AMF=∠BMF，∴tan∠AMF=tan∠BMF，
即$\frac{AC}{MC}=\frac{BD}{MD}$，
不妨設(shè)x₁＞$\frac{p}{2}$，x₂＜$\frac{p}{2}$，
則AC=|y₁|=|k（x₁-$\frac{p}{2}$）|=|k|（x₁-$\frac{p}{2}$），BD=|y₂|=|k（x₂-$\frac{p}{2}$）|=|k|（$\frac{p}{2}$-x₂），
且MC=x₁+1，MD=x₂+1，
代入$\frac{AC}{MC}=\frac{BD}{MD}$得，$\frac{|k|（{x}_{1}-\frac{p}{2}）}{{x}_{1}+1}=\frac{|k|（\frac{p}{2}-{x}_{2}）}{{x}_{2}+1}$，
化簡(jiǎn)得，2x₁x₂+（x₁+x₂）（1-$\frac{p}{2}$）-p=0，
則2×$\frac{{p}^{2}}{4}+\frac{{k}^{2}p+2p}{{k}^{2}}（1-\frac{p}{2}）-p=0$，化簡(jiǎn)得$\frac{2-p}{{k}^{2}}=0$，得p=2．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查化簡(jiǎn)計(jì)算能力，是中檔題．