Question

18．如圖所示，異面直線AB，CD互相垂直，AB=$\sqrt{6}$，BC=$\sqrt{3}$，CD=1，BD=2，AC=3，截面EFGH分別與BD，AD，AC，BC相交于點E，F，G，H，且AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH．
（1）求證：BC⊥平面EFGH；
（2）求二面角B-AD-C的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出AB∥EF，CD∥HE，AB⊥BC，BC⊥DC，BC⊥EF，BC⊥EH，由此能證明BC⊥平面EFGH．
（2）作$\overrightarrow{Cz}∥\overrightarrow{BA}$，以C為原點，CD為x軸，CB為y軸，Cz為z軸，建立空間直角坐標系C-xyz，利用向量法能求出二面角B-AD-C的正弦值．

解答 證明：（1）∵AB∥平面EFGH，
又∵AB?平面ABD，平面ABD∩平面EFGH=EF，
∴AB∥EF，同理CD∥HE，
∵$AB=\sqrt{6}，BC=\sqrt{3}，AC=3$，
∴AB²+BC²=AC²，∴AB⊥BC，
同理BC⊥DC，
∴BC⊥EF，同理BC⊥EH，
又∵EF，EH是平面EFGH內的兩相交直線，
∴BC⊥平面EFGH．
（2）由（1）及異面直線AB，CD互相垂直知，直線AB，BC，CD兩兩垂直，
作$\overrightarrow{Cz}∥\overrightarrow{BA}$，以C為原點，CD為x軸，CB為y軸，Cz為z軸，建立空間直角坐標系C-xyz，如圖所示
則$C（0，0，0），D（1，0，0），B（0，\sqrt{3}，0），A（0，\sqrt{3}，\sqrt{6}）$，
∵x軸?平面ACD，∴平面ACD的一個法向量可設為$\overrightarrow n=（0，y，1）$，
∵$\overrightarrow{DA}=（-1，\sqrt{3}，\sqrt{6}）$，∴$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow n=0+\sqrt{3}y+\sqrt{6}=0$
，得：$y=-\sqrt{2}$，即$\overrightarrow n=（0，-\sqrt{2}，1）$，
又∵z軸∥平面ABD，∴平面ABD的一個法向量可設為$\overrightarrow m=（x，1，0）$，
∴$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow m=-x+\sqrt{3}=0$，得$x=\sqrt{3}$，即$\overrightarrow m=（\sqrt{3}，1，0）$，
設二面角B-AD-C的大小為θ，
那么$|cosθ|=\frac{|\overrightarrow n•\overrightarrow m|}{|\overrightarrow n||\overrightarrow m|}=\frac{{\sqrt{2}}}{{2\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，
∴$sinθ=\frac{{\sqrt{30}}}{6}$，
∴二面角B-AD-C的正弦值為$\frac{{\sqrt{30}}}{6}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．