Question

已知函數f（x）=

1

x

+ax+2lnx，其中a為實數；
（1）若a=-2，求函數y=f（x）在點x=1處的切線方程；
（2）試討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的概念及應用

分析：（1）a=-2時，f（x）=

1

x

-2x+2lnx，得f′（x）=-

1

x2

-2+

2

x

，而k=f′（1）=-1，f（1）=-1，從而切線方程為：x+y=0；
（2）f′（x）=

ax2+2x-1

x2

，（x＞0），令g（x）=ax²+2x-1，分別討論①a＞0時，②a=0時，③-1≤a＜0時，④a＜-1時的情況，從而求出f（x）的單調區(qū)間．

解答： 解：（1）a=-2時，f（x）=

1

x

-2x+2lnx，
∴f′（x）=-

1

x2

-2+

2

x

，
∴k=f′（1）=-1，f（1）=-1，
∴切線方程為：x+y=0；
（2）f′（x）=

ax2+2x-1

x2

，（x＞0），
令g（x）=ax²+2x-1，
①a＞0時，△=4+4a＞0，
∴x₁=

-1+ 1+a

a

，x₂=

-1- 1+a

a

（舍），
∴f（x）在（0，

-1+ 1+a

a

）遞減，在（

-1+ 1+a

a

，+∞）遞增，
②a=0時，令g（x）＞0，解得：x＞

1

2

，令g（x）＜0，解得：0＜x＜

1

2

，
∴f（x）在（0，

1

2

）遞減，在（

1

2

，+∞）遞增，
③a＜0時，
△=4+4a≥0，即-1≤a＜0時，
令g（x）＞0，解得：0＜x＜

-1+ 1+a

a

，
令g（x）＜0，解得：x＞

-1+ 1+a

a

，
∴f（x）在（0，

-1+ 1+a

a

）遞增，在（

-1+ 1+a

a

，+∞）遞減，
△=4+4a＜0，即a＜-1時，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）遞減；
綜上：①a＞0時f（x）在（0，

-1+ 1+a

a

）遞減，在（

-1+ 1+a

a

，+∞）遞增，
②a=0時，f（x）在（0，

1

2

）遞減，在（

1

2

，+∞）遞增，
③-1≤a＜0時，f（x）在（0，

-1+ 1+a

a

）遞增，在（

-1+ 1+a

a

，+∞）遞減，
④a＜-1時，f（x）在（0，+∞）遞減．

點評：本題考察了函數的單調性，導數的應用，滲透了分類討論思想，是一道中檔題．