Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=cos²x-asinx+2，若對于任意的實數(shù)x，都有f（x）≤5，求實數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析 令sinx=t，問題轉(zhuǎn)化為t²+at+2≥0對于任意的t∈[-1，1]恒成立，分類討論由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答 解：由題意可得cos²x-asinx+2≤5對于任意的實數(shù)x恒成立，
∴1-sin²x-asinx+2≤5對于任意的實數(shù)x恒成立，
∴sin²x+asinx+2≥0對于任意的實數(shù)x恒成立，
令sinx=t，則t∈[-1，1]，
∴t²+at+2≥0對于任意的t∈[-1，1]恒成立，
當-$\frac{a}{2×1}$≤-1即a≥2時，（-1）²+a（-1）+2≥0，
解得a≤3，綜合可得2≤a≤3；
當-$\frac{a}{2×1}$≥1即a≤-2時，（1）²+a（1）+2≥0，
解得a≥-3，綜合可得-3≤a≤-2；
當-1＜-$\frac{a}{2×1}$＜1即-2＜a＜2時，（-$\frac{a}{2}$）²+a（-$\frac{a}{2}$）+2≥0，
解得-2$\sqrt{2}$≤a≤2$\sqrt{2}$，綜合可得-2＜a＜2；
綜上可得實數(shù)a的范圍為[-3，3]

點評 本題考查三角函數(shù)的最值，涉及恒成立以及二次函數(shù)區(qū)間的最值和分類討論思想，屬中檔題．