Question

10．研究數(shù)列{x_n}的前n項(xiàng)發(fā)現(xiàn)：{x_n}的各項(xiàng)互不相同，其前i項(xiàng)（1≤i≤n-1）中的最大者記為a_i，最后n-i項(xiàng)（i≤i≤n-1）中的最小者記為b_i，記c_i=a_i-b_i，此時(shí)c₁，c₂，…c_n-2，c_n-1構(gòu)成等差數(shù)列，且c₁＞0，證明：x₁，x₂，x₃，…x_n-1為等差數(shù)列．

Answer 1

分析 依題意，0＜c₁＜c₂＜…＜c_n-1，可用反證法證明x₁，x₂，…，x_n-1是單調(diào)遞增數(shù)列；再證明x_m為數(shù)列{x_n}中的最小項(xiàng)，從而可求得是x_k=c_k+x_m，問題得證

解答 證明：設(shè)c為c₁，c₂，…c_n-2，c_n-1的公差，
對(duì)1≤i≤n-2，因?yàn)閎_i≤b_i+1，c＞0，
所以a_i+1=b_i+1+c_i+1≥b_i+c_i+c＞b_i+c_i=a_i，
又因?yàn)閍_i+1=max{a_i，x_i+1}，所以x_i+1=a_i+1＞a_i≥x_i．
從而x₁，x₂，…，x_n-1為遞增數(shù)列．
因?yàn)閍_i=x_i（i=1，2，…n-1），
又因?yàn)閎₁=a₁-c₁＜a₁，
所以b₁＜x₁＜x₂＜…＜x_n-1，
因此x_n=b₁．
所以b₁=b₂=…=b_n-1=x_n．
所以x_i=a_i=b_i+c_i=x_n+c_i，
因此對(duì)i=1，2，…，n-2都有x_i+1-x_i=c_i+1-c_i=c，
即x₁，x₂，…，x_n-1是等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列，突出考查考查推理論證與抽象思維的能力，考查反證法的應(yīng)用，屬于難題．