Question

7．若以原點為圓心，橢圓的焦半徑c為半徑的圓與該橢圓有四個交點，則該橢圓的離心率的取值范圍為：（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），與圓方程為x²+y²=c²，聯(lián)立方程組，解得x，y，由題意可得c＞b，再由離心率公式，計算即可得到所求范圍．

解答 解：設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
以原點為圓心，橢圓的焦半徑c為半徑的圓方程為x²+y²=c²，
聯(lián)立兩方程，可得y²=$\frac{^{2}（{a}^{2}-{c}^{2}）}{{a}^{2}-^{2}}$，x²=$\frac{{a}^{2}（{c}^{2}-^{2}）}{{a}^{2}-^{2}}$，
由題意可得x²＞0，y²＞0，
結(jié)合a＞b＞0，a＞c＞0，可得c²＞b²，
即有c²＞a²-c²，即為a＜$\sqrt{2}$c，
則離心率e=$\frac{c}{a}$＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由0＜e＜1，可得
$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜e＜1．
故答案為：（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

點評 本題考查橢圓的離心率的范圍，注意運用圓與橢圓方程聯(lián)立，通過方程組有解，考查運算能力，屬于中檔題．