Question

14．函數(shù)f（x）=4^x-2^x+1
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）若x∈[-2，2]，求函數(shù)y=log_af（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用換元法結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）若x∈[-2，2]，先求出函數(shù)f（x）的取值范圍，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求函數(shù)y=log_af（x）的值域．

解答 解：（1）f（x）=4^x-2^x+1=（2^x）²-2^x+1=（2^x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
設(shè)t=2^x，則函數(shù)等價(jià)為y=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，對(duì)稱(chēng)軸為t=$\frac{1}{2}$，
由t=2^x=$\frac{1}{2}$得x=-1，
即當(dāng)x≤-1時(shí)，t≤$\frac{1}{2}$，此時(shí)t=2^x為增函數(shù)，而y=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$為減函數(shù)，則根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可知此時(shí)f（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x≥-1時(shí)，t≥$\frac{1}{2}$，此時(shí)t=2^x為增函數(shù)，而y=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$為增函數(shù)，則根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可知此時(shí)f（x）為增函數(shù)，
即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為為[-1，+∞）．
（2）若x∈[-2，2]，則t∈[$\frac{1}{4}$，4]，此時(shí)y=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$∈[$\frac{3}{4}$，13]，
若a＞1，則log_a$\frac{3}{4}$≤y≤log_a13，此時(shí)函數(shù)y=log_af（x）的值域?yàn)閇log_a$\frac{3}{4}$，log_a13]．
若0＜a＜1，則log_a13≤y≤log_a$\frac{3}{4}$，此時(shí)函數(shù)y=log_af（x）的值域?yàn)閇log_a13，log_a$\frac{3}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．