Question

14．函數f（x）=4^x-2^x+1
（1）求函數f（x）的單調遞增區(qū)間．
（2）若x∈[-2，2]，求函數y=log_af（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用換元法結合復合函數單調性之間的關系即可求函數f（x）的單調遞增區(qū)間．
（2）若x∈[-2，2]，先求出函數f（x）的取值范圍，利用對數函數的單調性即可求函數y=log_af（x）的值域．

解答 解：（1）f（x）=4^x-2^x+1=（2^x）²-2^x+1=（2^x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
設t=2^x，則函數等價為y=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，對稱軸為t=$\frac{1}{2}$，
由t=2^x=$\frac{1}{2}$得x=-1，
即當x≤-1時，t≤$\frac{1}{2}$，此時t=2^x為增函數，而y=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$為減函數，則根據復合函數單調性的性質可知此時f（x）為減函數，
當x≥-1時，t≥$\frac{1}{2}$，此時t=2^x為增函數，而y=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$為增函數，則根據復合函數單調性的性質可知此時f（x）為增函數，
即函數f（x）的單調遞增區(qū)間為為[-1，+∞）．
（2）若x∈[-2，2]，則t∈[$\frac{1}{4}$，4]，此時y=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$∈[$\frac{3}{4}$，13]，
若a＞1，則log_a$\frac{3}{4}$≤y≤log_a13，此時函數y=log_af（x）的值域為[log_a$\frac{3}{4}$，log_a13]．
若0＜a＜1，則log_a13≤y≤log_a$\frac{3}{4}$，此時函數y=log_af（x）的值域為[log_a13，log_a$\frac{3}{4}$]．

點評 本題主要考查指數型函數的單調性的應用，利用換元法結合一元二次函數和對數函數，指數函數的單調性以及復合函數單調性之間的關系是解決本題的關鍵．