Question

16．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，⊙C的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{3}$sinθ．
（Ⅰ）寫出⊙C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P到圓心C的距離最小時(shí)，求P的直角坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （I）由⊙C的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{3}$sinθ．化為ρ²=2$\sqrt{3}ρsinθ$，把$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出；．
（II）設(shè)P$（3+\frac{1}{2}t，\frac{\sqrt{3}}{2}t）$，又C$（0，\sqrt{3}）$．利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得|PC|=$\sqrt{{t}^{2}+12}$，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（I）由⊙C的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{3}$sinθ．
∴ρ²=2$\sqrt{3}ρsinθ$，化為x²+y²=$2\sqrt{3}y$，
配方為${x}^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}$=3．
（II）設(shè)P$（3+\frac{1}{2}t，\frac{\sqrt{3}}{2}t）$，又C$（0，\sqrt{3}）$．
∴|PC|=$\sqrt{（3+\frac{1}{2}t）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}t-\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+12}$≥2$\sqrt{3}$，
因此當(dāng)t=0時(shí)，|PC|取得最小值2$\sqrt{3}$．此時(shí)P（3，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的應(yīng)用、兩點(diǎn)之間的距離公式、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．