Question

10．設(shè)橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，b），點(diǎn)M在線段AB上，滿足|BM|=2|MA|，直線OM的斜率為$\frac{\sqrt{5}}{10}$
（Ⅰ）求E的離心率e；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-b），N為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為$\frac{7}{2}$，求E的方程．

Answer 1

分析 （I）由于點(diǎn)M在線段AB上，滿足|BM|=2|MA|，即$\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MA}$，可得$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}$．利用${k}_{OM}=\frac{\sqrt{5}}{10}$，可得$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$．
（II）由（I）可得直線AB的方程為：$\frac{x}{\sqrt{5}b}+\frac{y}$=1，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得N．設(shè)點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為S$（{x}_{1}，\frac{7}{2}）$，線段NS的中點(diǎn)T，又AB垂直平分線段NS，可得b，解得即可．

解答 解：（I）∵點(diǎn)M在線段AB上，滿足|BM|=2|MA|，∴$\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MA}$，
∵A（a，0），B（0，b），∴$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}$=$（\frac{2}{3}a，\frac{1}{3}b）$．
∵${k}_{OM}=\frac{\sqrt{5}}{10}$，∴$\frac{2a}=\frac{\sqrt{5}}{10}$，a=$\sqrt{5}$b．
∴$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（II）由（I）可得直線AB的方程為：$\frac{x}{\sqrt{5}b}+\frac{y}$=1，N$（\frac{\sqrt{5}b}{2}，-\frac{1}{2}b）$．
設(shè)點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為S$（{x}_{1}，\frac{7}{2}）$，線段NS的中點(diǎn)T$（\frac{\sqrt{5}}{4}b+\frac{{x}_{1}}{2}，-\frac{1}{4}b+\frac{7}{4}）$，
又AB垂直平分線段NS，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\frac{\sqrt{5}b}{4}+\frac{1}{2}{x}_{1}}{\sqrt{5}b}+\frac{-\frac{1}{4}b+\frac{7}{4}}=1}\\{\frac{\frac{7}{2}+\frac{1}{2}b}{{x}_{1}-\frac{\sqrt{5}}{2}b}=\sqrt{5}}\end{array}\right.$，解得b=3，
∴a=3$\sqrt{5}$．
∴橢圓E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{45}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、線段的垂直平分線性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．