Question

（1）求經(jīng)過點（2，3）且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程；
（2）求過直線x-2y-3=0與2x-3y-2=0的交點，且與7x+5y+1=0垂直的直線方程．

Answer 1

考點：直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系,直線的截距式方程

專題：直線與圓

分析：（1）當(dāng)直線過原點時，直線的方程為y=

3

2

x．當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線的截距式為x+y=a，把點（2，3）代入即可得出．
（2）法一：由

x-2y-3=0 2x-3y-2=0

得交點為（-5，-4）．由所求直線與7x+5y+1=0垂直，可得所求直線斜率k=

5

7

，利用點斜式即可得出；
法二：利用“直線系”由所求直線過直線x-2y-3=0與2x-3y-2=0的交點，可設(shè)所求直線為x-2y-3+λ（2x-3y-2）=0，即（2λ+1）x-（3λ+2）y-（2λ+3）=0，
又∵所求直線與7x+5y+1=0垂直，利用斜率之間的關(guān)系可得

2λ+1

3λ+2

=

5

7

，解出即可．

解答： 解：（1）當(dāng)直線過原點時，直線的方程為y=

3

2

x．
當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線的截距式為x+y=a，
把點（2，3）代入可得a=5．
綜上可得：直線的方程為：3x-2y=0或x+y=5．
（2）法一：由

x-2y-3=0 2x-3y-2=0

得

x=-5 y=-4

，交點為（-5，-4）．
又∵所求直線與7x+5y+1=0垂直，
∴所求直線斜率k=

5

7

，
∴所求的直線方程為y+4=

5

7

(x+5)，
化為2x-7y-3=0．
故所求直線方程為5x-7y-3=0．
法二：
由所求直線過直線x-2y-3=0與2x-3y-2=0的交點，可設(shè)所求直線為x-2y-3+λ（2x-3y-2）=0，
即（2λ+1）x-（3λ+2）y-（2λ+3）=0，
又∵所求直線與7x+5y+1=0垂直，∴

2λ+1

3λ+2

=

5

7

，即λ=-3．
故所求直線方程為5x-7y-3=0．

點評：本題考查了直線的截距式、直線的交點、直線系的應(yīng)用、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．