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已知橢圓C的中心在原點,焦點在x軸上,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為左、右焦點,離心率為e,半長軸長為a.
(1)若焦距長2c=4
2
,且
2
3
、e、
4
3
成等比數列,求橢圓C的方程;
(2)在(1)的條件下,直線l:ex-y+a=0與x軸、y軸分別相交于M、N兩點,P是直線l與橢圓C的一個交點,且
MP
=λ
MN
,求λ的值;
(3)若不考慮(1),在(2)中,求λ的取值范圍.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(1)由于焦距長2c=4
2
,可得c=2
2
.由
2
3
、e、
4
3
成等比數列,可得e=
2
2
3
=
c
a
,a=3,利用b2=a2-c2即可得出.
(2)在(1)的條件下,直線l:ex-y+a=0為2
2
x-3y+9
=0,與x軸、y軸分別相交于M(-
9
2
4
,0)
、N(0,3)兩點,設P(x0,y0),與橢圓方程聯(lián)立化為x2+4
2
x+8
=0,解得P(-2
2
,
1
3
)
.由
MP
=λ
MN
,利用向量坐標運算、向量相等即可得出.
(3)直線l:ex-y+a=0與x軸、y軸分別相交于M(
a2
c
,0)
、N(0,a)兩點,與橢圓方程聯(lián)立可得(x+c)2=0,解得P(-c,
b2
a
)
.由于
MP
=λ
MN
,可得λ=e2+1,即可得出.
解答: 解:(1)∵焦距長2c=4
2
,∴c=2
2

2
3
、e、
4
3
成等比數列,可得e2=
2
3
×
4
3
,解得e=
2
2
3
=
c
a
,
∴a=3,
∴b2=a2-c2=1,
∴橢圓C的方程為
x2
9
+y2
=1;
(2)在(1)的條件下,直線l:ex-y+a=0為2
2
x-3y+9
=0,與x軸、y軸分別相交于M(-
9
2
4
,0)
、N(0,3)兩點,
設P(x0,y0),則
x
2
0
+9
y
2
0
=9.
聯(lián)立
2
2
x-3y+9=0
x2+9y2=9
,化為x2+4
2
x+8
=0,解得x=-2
2
,∴y=
1
3
,即P(-2
2
,
1
3
)

MP
=λ
MN
,∴(
2
4
,
1
3
)=λ(
9
2
4
,3)
,∴3λ=
1
3
,解得λ=
1
9

(3)直線l:ex-y+a=0與x軸、y軸分別相交于M(
a2
c
,0)
、N(0,a)兩點,
聯(lián)立
ex-y+a=0
x2
a2
+
y2
b2
=1
,化為(x+c)2=0,解得x=-c,y=
b2
a
.即P(-c,
b2
a
)

MP
=λ
MN
,
-c-
a2
c
=-
λa2
c

化為λ=e2+1,
∵e∈(0,1),
∴λ∈(1,2).
點評:本題可憐蟲橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓位置關系轉化為方程聯(lián)立可得交點坐標、向量的坐標運算,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
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4
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C、9π
D、
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