Question

已知定義域是R上的函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，若x∈[

1

2

，1]時(shí)，不等式f（1+xlog₂7•log₇a）≤f（x-2）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：f定義域是R的函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，x∈[

1

2

，1]時(shí)，不等式f（1+xlog₂7•log₇a）≤f（x-2）恒成立，可得x∈[

1

2

，1]時(shí)，1+xlog₂7•log₇a≤x-2，化為log₇a≤

x-3

x

log₇2，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：∵定義域是R的函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，x∈[

1

2

，1]時(shí)，不等式f（1+xlog₂7•log₇a）≤f（x-2）恒成立，
∴x∈[

1

2

，1]時(shí)，1+xlog₂7•log₇a≤x-2，
∴l(xiāng)og₇a≤

x-3

x

log₇2，
∵x∈[

1

2

，1]，
∴

x-3

x

∈[-5，-2]
∴0≤a≤

1

32

，
故答案為：0≤a≤

1

32

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．