Question

設(shè)方程（m+1）|e^x-1|-1=0的兩根為x₁，x₂（x₁＜x₂），方程|e^x-1|-m=0的兩根為x₃，x₄（x₃＜x₄），m∈（0，

1

2

），則（x₄+x₁）-（x₃+x₂）的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由條件求得（x₄+x₁）-（x₃+x₂）=ln

m2+m

2-m-m2

．令t=

m2+m

2-m-m2

，則原式=lnt，利用不等式的基本性質(zhì)求得

1

t

的范圍，可得t的范圍，從而求得lnt的范圍，即為所求．

解答： 解：由方程（m+1）|e^x-1|-1=0的兩根為x₁，x₂（x₁＜x₂），可得 1-ex1=

1

m+1

，ex2-1=

1

m+1

，
求得x₁=ln

m

m+1

，x₂=ln

m+2

m+1

．
由方程|e^x-1|-m=0的兩根為x₃，x₄（x₃＜x₄），可得1-ex3=m，ex4-1=m，
求得x₃=ln（1-m），x₄=ln（1+m）．
∴（x₄+x₁）-（x₃+x₂）=lnm-ln

(2+m)(1-m)

m+1

=ln

m2+m

2-m-m2

．
令t=

m2+m

2-m-m2

，則原式=lnt，且 

1

t

=-1+

2

m2+m

=-1+

2

(m+ 1 2 )2- 1 4

．
由m∈（0，

1

2

），可得 0＜(m+

1

2

)2-

1

4

＜

3

4

，

2

(m+ 1 2 )2- 1 4

＞

8

3

，
∴

1

t

=-1+

2

(m+ 1 2 )2- 1 4

＞

5

3

，0＜t＜

3

5

，故原式=lnt∈（-∞，ln

3

5

 ），
故答案為：（-∞，ln

3

5

 ）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用，不等式的基本性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．