Question

16．已知函數(shù)f（x）=-2asin（2x+$\frac{π}{6}$）+2a+b的定義域為[0，$\frac{π}{2}$]，值域為[-5，1]．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）求函數(shù)g（x）=-4asin（bx-$\frac{π}{3}$）的最小值并求出對應(yīng)x的集合．

Answer 1

分析 （1）由x的取值范圍，求出2x+$\frac{π}{6}$的取值范圍，從而求出2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的取值范圍；討論a＞0、a＜0時，函數(shù)f（x）的最值問題，從而求出a和b的值．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，分兩種情況討論，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出．

解答 解：（1）∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，
∴$-\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴-1≤2sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤2，
當(dāng)a＞0時，$\left\{\begin{array}{l}{2a+2a+b=1}\\{-a+2a+b=-5}\end{array}\right.$解得a=2，b=-7，
當(dāng)a＜0時，$\left\{\begin{array}{l}{-2a+2a+b=1}\\{a+2a+b=-5}\end{array}\right.$，解得a=-2，b=1，
（2）當(dāng)a=2，b=-7時，g（x）=-8sin（-7x-$\frac{π}{3}$）=8sin（7x+$\frac{π}{3}$），
其最小值為-8，7x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，即x=-$\frac{5π}{42}$+$\frac{2kπ}{7}$，k∈Z，對應(yīng)x的集合為{x|x=-$\frac{5π}{42}$+$\frac{2kπ}{7}$，k∈Z}，
當(dāng)a=-2，b=1時，g（x）=-8sin（x-$\frac{π}{3}$）=-8sin（x-$\frac{π}{3}$），
其最小值為-8，x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，即x=$\frac{5}{6}$π+2kπ，k∈Z，對應(yīng)x的集合為{x|x=$\frac{5}{6}$π+2kπ，k∈Z}．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與應(yīng)用問題，解題時應(yīng)根據(jù)三角函數(shù)的最值與值域的關(guān)系，利用分類討論的方法，求出a和b的值．