Question

11．函數(shù)y=x+$\frac{5}{x+1}$（x≥2）取得最小值時(shí)的x的值為（　　）

• A． $\sqrt{5}-1$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{5}+1$

Answer 1

分析 先將函數(shù)配成（x+1）+$\frac{5}{x+1}$的形式，再運(yùn)用基本不等式最值，根據(jù)取等條件得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而確定x的值．

解答 解：y=x+$\frac{5}{x+1}$=（x+1）+$\frac{5}{x+1}$-1，
∵（x+1）+$\frac{5}{x+1}$≥2$\sqrt{5}$，
∴當(dāng)且僅當(dāng)：x=$\sqrt{5}$-1時(shí)，取得最小值，
所以，函數(shù)y在x∈[$\sqrt{5}$-1，+∞）上單調(diào)遞增，x∈（-1，$\sqrt{5}$-1）上遞減，
由于x≥2，所以，函數(shù)y=x+$\frac{5}{x+1}$在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，
因此，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取得最小值$\frac{11}{3}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了運(yùn)用基本不等式求函數(shù)的最值，以及取等條件和單調(diào)性的分析，屬于基礎(chǔ)題．